大人からはじめる統計 vol.10 標準偏差のn-1

前回は、自由度について紹介しました。

自由度は、標準偏差の分母n-1として知っている方も多いのではないでしょうか。

-1に違和感を感じながらも、

「標準偏差は、とりあえずn-1で割ればいいんだな」

なんて覚えていないでしょうか？

実はこれも、標本から母集団について推定しているからn-1なのです。

n：標本サイズ、Xbar：標本平均

順を追ってn-1の理由を見てみましょう。

各標本と母平均との差を二乗して総和をとると、次のように分解できます。

イメージ図（分解の途中式が気になる方は参考文献をご覧ください）

標本平均Xbarと母平均μの差、Xbar-μを考えるところがポイントです。

式の右辺第１項（標準偏差の分子ですね）を主語にして、nで割ります。

ここで、標本が無限に大きい時を考えます。

標本が無限に大きい時、右辺第１項は母分散σ^2になります。

無限に大きい標本 = 母集団という感覚です。

右辺第２項はどうなるでしょうか？

2乗なので、μとXbarを入れ替えても同じ値です。

これは、標本平均Xbarの分布（標本分布）の分散で、

実は、vol6で既に登場しています。

図では標準偏差になっており、2乗すると、

標本分布の分散 = 母分散σ^2/サンプルサイズn

ここまでの内容を組み合わせると、無限の標本を考えた時、次の式になります。

両辺にnをかけて、右辺をσ^2でくくります。

n-1がついに現れましたね！もうお分かりだと思います。

σ^2を主語にすると

母分散を推定する式になりました！

平方根をとれば、最初の母標準偏差を推定する式になります。

母分散そのものではなく推定と言う理由は、この式を作るときに、無限の標本を考えました。

標本が大きければ大きいほどこの値は母分散に近づきますが、実際には無限の標本を手にすることはできないため、推定となります。

毎回、母分散（推定）、母標準偏差（推定）というのはまどろっこしいので、

不偏分散、不偏標準偏差、といいます。

サンプルは母集団の一部なので、母集団に比べると偏っています。

その偏りを補正したという意味で”不偏”とついています。

ここまで式を追っていただいた方、お疲れ様でした！

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参考文献

実践統計学入門（足立堅一）